课程笔记03 计算机图形学基础

第四章 材质反射属性模型 BRDF

4.1 BRDF 基础知识

光照可分为全局和局部两种

• 局部光照（local illumination）和物体直接被光源照射的情况相关
• 全局光照总（global illumination）和物体被光源以外的其它地方来的光线照射的情况相关包括其它物体反射和透射过来的光线

今天的主题：一个关于光线如何被表面反射的物理描述，也就是BRDF。

球面坐标 (Spherical Coordinate)：由于光线主要是通过方向来表达，通常用球面坐标表达它们比用笛卡尔坐标更方便。球面坐标中的向量用三个元素来指定：

• $r$ 表示向量的长度，
• $\theta$ 表示向量和 $z$ 轴的夹角，
• $\varphi$ 表示向量在 $x-y$ 平面上的投影和 $x$ 轴的逆时针夹角。 与三维笛卡尔坐标系的转换关系：
• $r=sqrt(x^2+y^2+z^2)$ $\theta=acos(z/r)$ $\varphi=atan(y/x)$
• $z=r cos(\theta)$ $y=r sin(\theta)sin(\varphi)$ $x=r sin(\theta)cos(\varphi)$

立体角 (Solid Angle)：从原点向一个球面区域张成的视野大小，是平面角在三维的自然推广。立体角的最大值为全角：4$\pi$，该最大值可以在区域为整个球面时取到。
立体角 $\omega$ 具有微分形式：$$d\omega=\frac{dA}{r^2}=\sin\theta d\theta d\varphi$$

投影面积(Foreshortened Area)：一个物体表面的微小区域在某个视线方向上的可见面积。

$$Area=A\cos{\theta}$$

光能 (Radiant Energy)：表示的是(一个区域中)光子能量的总和。通常使用符号Q来表示，其单位是焦耳(J)。

光通量 (Radiant Flux)：在单位时间穿过单位面积截面的光能。通常使用符号 Φ 来表示，单位是瓦特 (W)。

$$\Phi=\frac{dQ}{dt}$$

辉度(Irradiance)：物体表面受光能的影响程度，它等于单位面积上的光通量。通常使用符号E来表示，单位是W/m²

$$E=\frac{d\Phi}{dA}$$

发光强度(Intensity)：对一个点 (例如点光源)来说，发光强度表示单位立体角上的光通量。发光强度简称光强，使用符号 I 来表示，单位是W。

$$I=\frac{d\Phi}{d\omega}$$

光亮度 (Radiance)：表示物体表面沿某一方向的明亮程度，它等于单位投影面积和单位立体角上的光通量，使用符号 L 来表示，单位是W/m²

• 光亮度的微分形式

$$L=\frac{d^2\Phi}{dA\cos\theta d\omega}$$

• 光亮度使用物体表面沿目标方向上的投影面积，而不是面积。

• 辉度可以写成光亮度在入射光所形成的半球上的积分:

$$\frac{d\Phi}{dA}=E=\int_{\Omega}L(\omega)cos\theta d\omega$$

4.2 BRDF 的定义和性质

BRDF 描述的是物体表面将光能从任何一个入射方向反射到任何一个视点方向的反射特性；BRDF 模型是绝大多数近代图形学算法中用于描述光反射现象的基本模型

BRDF 是关于入射光方向和反射光方向的四维实值函数，它等于反射方向的光亮度和沿入射方向的入射光的辉度之比:

$$f(\omega_i\rightarrow\omega_r)=\frac{dL_r(\omega_r)}{dE_i}$$

可逆性（Reciprocity）

BRDF的可逆性源自于 Helmholtz 光路可逆性 (Helmholtz Reciprocity Rule)。
BRDF的可逆性是说：交换入射光与反射光的角色，并不会改变BRDF的值。

能量守恒性质

BRDF需要遵循的另一个物理定律是能量守恒定律。能量守恒定律指出：入射光的能量与出射光的总能量应该相等

• 能量守恒方程如下:

$$Q_{incoming}=Q_{reflected}+Q_{absorb}+Q_{transmitted}$$

• 由此可知：

$$Q_{reflected}\leq Q_{incoming}$$

渲染方程（Rendering Equation）

渲染方程用于计算环境光照明下的反射光的光亮度，它可以写成不同角度下入射光的光亮度乘以 BRDF 的积分:

$$L_r=\int_{\Omega}f(\omega_i\rightarrow\omega_r)L(\omega_i)cos\omega_i d\omega_i$$

4.3 BRDF 模型

为了方便和高效地使用 BRDF 数据，它们往往被组织成为参数化的数值模型。
BRDF的数值模型具有如下三类：

• 经验模型(Empirical Models)：使用基于实验提出的公式对BRDF做快速估计
• 基于物理的模型 (Physical-based Models)：根据物体表面材料的几何以及光学属性建立反射方程，从而计算BRDF
• 数据表达的模型(Data-driven Models)：将BRDF按照实测数据建立查找表，以便于快速的查找和计算

经验模型1：Lambertain

Lambertain模型是最基本的反射模型：

• 入射光线被均匀地反射到各个方向。
• 沿不同方向的BRDF是一个常数。
  Lambert漫反射模型能够很好地用于描述那些包含纯粹漫反射的物体 (例如：纸张)。
  不能表现出材质的镜面反射效果，而镜面反射对于金属材质非常重要。由于Lambert模型的简洁以及对漫反射良好的描述特性，它常常在其他的经验模型（例如：Phong 模型)中作为分量的形式被包含。

Phong 模型

Phong模型是在Lambert漫反射模型的基础上，添加了一项镜面反射项，以表达在反射角上的镜面反射效果。

• Phong 模型不满足可逆性。

尽管 Phong 模型缺乏物理解释，并且对于某些金属材质，它并不十分准确；但 Phong 模型仍是目前计算机图形学中被最为广泛使用的基于经验的反射模型。
Phong 模型的优势在于它的简洁和高效性，以及能够同时表现漫反射和镜面反射的特征。

Phong 模型的扩展

Blinn-Phong 模型

• 通过引入入射方向1和反射方向v的角平分线h，使用 h 和法向 n 的点积替代原先 Phong 模型中r与v的点积，可以简化运算。

快速 Phong 绘制 (Fast Phong Shading)

• 由 Bishop 和 Weimer 发表在 1986 年的 ACM SIGGRAPH 年会上
• 思想是使用制表和插值的方法对指数项 $(r\cdot v)^s$进行快速计算，从而实现绘制的加速

可逆的 Phong 模型（Modified Phong Model）

• 通过去掉 Phong 模型中镜面反射分量的分母项，从而使得修改后的 Phong 模型能够满足可逆性。

物理模型（Physical-Based Models）

物理模型建立在有关光的相互作用的科学知识上。通过包含材料的各种几何及光学性质来尽可能精确的近似现实世界中的材料。

• 菲涅耳项
• Cook-Torrance 模型

BRDF 可以分为两类

• 各向同性 (Isotropic)

  • 反射不受与给定表面法向夹角的约束
  • 随机表面微结构

• 各向异性 (Anisotropic)

  • 反射比随着与某个给定的表面法向之间的夹角而变化
  • 图案的表面微结构
  • 金属丝，绸缎，毛发

• Ward 模型

• Oren-Nayar模型

• Poulin-Fournier模型

• 波动光学（Wave optic）相关模型 CD彩色高光

数据驱动的 BRDF 模型

度量一个大的材料集合的BRDF，并将其记录为高维向量。利用降维方法从这些数据中计算一个低维流型。代表性工作: Matusiket al.[A Data-Driven Reflectance Model, ACM SIGGRAPH, 2003]

4.4 BRDF 度量

• 动机：为了对具有未知反射属性的材料进行建模，并生成具有高度真实感的结果；
  恢复BRDF和其它场景属性的过程有时也被称作逆渲染

• 测量设备：LightStage；Gonioreflectometer，相机视觉矫正