《Unity Shader入门精要》读书笔记03

第 4 章 数学基础

笛卡尔坐标系（Cartesian Coordinate System）

• 二维笛卡尔坐标系；三维笛卡尔坐标系

• 基矢量（basis vector）：坐标系的坐标轴

• 标准正交基（orthonormal basis）：相互垂直，长度为 1

• 正交基（orthogonal basis）：相互垂直

• 旋向性（handedness）：相同旋向性的坐标轴可通过旋转重合

• 左手坐标系（left-handed coordinate space）：
  左手（拇指，食指，中指）->(+x, +y, +z)
  左手法则（left-hand rule）- 左手“点赞”

• 右手坐标系（right-handed coordinate space）：
  右手（拇指，食指，中指）->(+x, +y, +z)
  右手法则（right-hand rule）- 右手“点赞”

• Unity 在模型/世界空间中使用左手坐标系，而在观察空间中使用右手坐标系。

练习题：1.右手坐标系 2.（1，0 ，0） （1，0 ，0） 3. -10 10

点和矢量

• 点（point）：一个位置
• 矢量/向量（vector）：n维空间中一种包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向线段；是相对量，无论放在哪里都一样。

• 对于标量，我们使用小写字母来表示，如α，b，x，y，z，θ，α等；
• 对于矢量，我们使用小写的粗体字母来表示，如a，b，u，v 等；
• 对于后面要学习的矩阵，我们使用大写的粗体字母来表示，如 A，B，S，M，R 等。

矢量运算

1. 矢量和标量乘除
2. 矢量加减——三角形定则（triangle rule）
3. 矢量的模

$$\left|\textbf{v}\right| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

4. 单位矢量（unit vector）/ 被归一化的矢量（normalized vector）$\hat{\textbf{v}}$ ——归一化（normalization）

$$\hat{\textbf{v}} = \frac{\textbf{v}}{\left|\textbf{v}\right|}$$

5. 矢量的点积/内积（dot product / inner product)——投影（projection）

$$\textbf{a}\cdot\textbf{b} = \left|\textbf{a}\right|\left|\textbf{b}\right|\cos{\theta}$$

6. 矢量的叉积/外积（cross product / outer product）——计算垂直于一个平面、三角形的矢量；判断三角面皮的朝向

$$\textbf{a}\times\textbf{b} \text{不满足结合律/交换律}$$

练习题：
1.（1）错 （2）对 （3）错
2.（1）$\sqrt{62}$ (2)(12.5, 10, 25) （3）(1.5, 2)
（4）(5/13, 12/13) （5）($\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$) （6）(10,9) （7）(-6, 1, 2)
3.$\sqrt{308}$
4.（1）75（2）13 （3）13（4）(-9, -13, 17) （5）(9,13,-7)
5.（1）12 （2）20. 784
6.（1）若$\textbf{v}\cdot(\textbf{x-p})$>0，说明玩家在NPC前方；反之在后方
（2）上述公式中乘积小于零，同时根据画图可知玩家在NPC后方，（1）方法正确。
（3）计算$\textbf{v}\text{和}\textbf{x-p}\text{的夹角}\theta$，$\theta = \arccos{\frac{\textbf{v}\cdot(\textbf{x-p})}{|\textbf{v}||\textbf{x-p}|}}$，然后将$\theta$与$\phi$比较。也可以比较$\cos\theta$和$\cos\frac{\phi}{2}$。
（4）计算距离$d=|\textbf{x-p}|$，将d固定的距离比较。
7.计算$(\textbf{p}_2-\textbf{p}_1)\times(\textbf{p}_3-\textbf{p}_1)$，若结果的z分量>0，根据左手法则，是逆时针排列。

矩阵（matrix）

数学家的Excel（

$$M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \\ \end{bmatrix}$$

上面是三行三列的的矩阵。行（row），列（column）。

矢量可以看成是 $n\times1$ 的列矩阵（column matrix）或 $1\times{n}$ 的行矩阵（row matrix），其中n对应了矢量的维度。

$$\text{行矩阵}\begin{bmatrix} 3 & 8 & 6 \\ \end{bmatrix}$$ $$\text{列矩阵}\begin{bmatrix} 3 \\ 8 \\ 6 \end{bmatrix}$$

矩阵运算

1.矩阵和标量的乘法：矩阵的每个元素和该标量相乘。
2.矩阵和矩阵的乘法：第一个矩阵的列数必须和第二个矩阵的行数相同，

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{in}b_{nj}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$$

• 矩阵乘法不满足交换律
• 矩阵乘法满足结合律

特殊的矩阵

1.方块矩阵（square matrix）->对角矩阵（diagonal matrix）

$$\begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

2.单位矩阵（identity matrix），用$\textbf{I}_n$表示。相当于标量中的数字 1 。

$$\textbf{I}_3=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

3.转置矩阵（transposed matrix），实际是对原矩阵的一种运算

$$\begin{bmatrix} 6 & 2 & 10 & 3\\ 7 & 5 & 4 & 9 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 2 & 5 \\ 10 & 4 \\ 3 & 9 \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} x & y & z \\ \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix}$$

• 性质一：矩阵转置的转置等于原矩阵。

$$(\textbf{M}^T)^T=\textbf{M}$$

• 性质二：矩阵串接的转置，等于反向串接各个矩阵的转置，

$$(\textbf{AB})^T=\textbf{B}^{T}\textbf{A}^T$$

4.逆矩阵（inverse matrix）
不是所有的矩阵都有逆矩阵，首先，该矩阵是一个方阵。
给定一个方阵$\textbf{M}$，它的逆矩阵用$\textbf{M}^{-1}$来表示。那么 $\textbf{M}\textbf{M}^{-1}=\textbf{M}^{-1}\textbf{M}=\textbf{I}$

如果一个矩阵有对应的逆矩阵，我们就说这个矩阵是 可逆的（invertible） 或者说是 非奇异的（nonsingular）；相反的，如果一个矩阵没有对应的逆矩阵，我们就说它是 不可逆的（noninvertible） 或者说是 奇异的（singular）。

• 判断方法：如果一个矩阵的 行列式（determinant） 不为0，那么它就是可逆的。
• 性质一：逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身。

$$(\textbf{M}^{-1})^{-1}=\textbf{M}$$

• 性质二：单位矩阵的逆矩阵是它本身。

$$\textbf{I}^{-1}=\textbf{I}$$

• 性质三：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置。

$$(\textbf{M}^{T})^{-1}=(\textbf{M}^{-1})^{T}$$

• 性质四：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵。

$$(\textbf{ABC})^{-1}=\textbf{C}^{-1}\textbf{B}^{-1}\textbf{A}^{-1}$$

5.正交矩阵（orthogonal matrix）
一个方阵和它的转置矩阵的乘积是单位矩阵，即 $$\textbf{M}\textbf{M}^{T}=\textbf{M}^{T}\textbf{M}=\textbf{I}$$
等价于$$\textbf{M}^{T}=\textbf{M}^{-1}$$
这个式子可以用于逆矩阵的求解。因为正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵。

• 一个正交矩阵的行和列之间分别构成了一组标准正交基。

在Unity中，常规做法是把矢量放在矩阵的右侧，即把矢量转换成列矩阵来进行运算。我们的矩阵乘法通常都是右乘，例如：

$$\textbf{CBAv}=\textbf{(C(B(Av)))}$$

从右到左，即先对 $\textbf{v}$ 使用A进行变换，再使用B进行变换，最后使用C进行变换。

练习题
1.（1）$\begin{bmatrix}-1 &11\\-2&18\end{bmatrix}$（2）乘积不存在
（3）$\begin{bmatrix}11\\11\\-6\end{bmatrix}$
2.（1）不是（2）是（3）是
3.（1）一样（2）不一样（3）一样
为了得到相同的结果，需要矩阵是对称矩阵（symmetric matrix，矩阵和转置矩阵相同）；或者进行行矩阵乘法时，对矩阵进行转置。

矩阵和变换

变换（transform） 指的是我们把一些数据，如点、方向矢量甚至是颜色等，通过某种方式进行转换的过程。
线性变换（linear transform），指的是那些可以保留矢量加和标量乘的变换。公式如下

$$\textbf{f}(\textbf{x})+\textbf{f}(\textbf{y})=\textbf{f}(\textbf{x}+\textbf{y})$$ $$k \textbf{f}(\textbf{x})=\textbf{f}(k\textbf{x})$$

线性变换包括旋转（rotation）和缩放（scale），错切（shear）、镜像（mirroring，也被称为 reflection）、正交投影（orthographic projection）等。

仿射变换（affine transform），是合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换可以使用一个4x4的矩阵来表示，为此，我们需要把矢量扩展到四维空间下，这就是齐次坐标空间（homogeneous space）。

变换名称	是线性变换吗	是仿射变换吗	是可逆矩阵吗	是正交矩阵吗
平移矩阵	N	Y	Y	N
绕坐标轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
绕任意轴旋转的旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
按坐标轴缩放的缩放矩阵	Y	Y	Y	N
错切矩阵	Y	Y	Y	N
镜像矩阵	Y	Y	Y	Y
正交投影矩阵	Y	Y	N	N
透视投影矩阵	N	N	N	N

齐次坐标（homogeneous coordinate）
对于一个点，从三维坐标转换成齐次坐标是把其 w 分量设为1，而对于方向矢量来说，需要把其 w 分量设为0。

分解基础变换矩阵

$$\begin{bmatrix} \textbf{M}_{3\times3} & \textbf{t}_{3\times1} \\ \textbf{0}_{1\times3} & 1 \end{bmatrix}$$

其中，$\textbf{M}_{3\times3}$表示旋转和缩放，$\textbf{t}_{3\times1}$表示平移。

• 平移矩阵
• 缩放矩阵——统一缩放（uniform scale），非统一缩放（nonuniform scale）
• 旋转矩阵

复合变换

$$\textbf{P}_{new}=\textbf{M}_{translation}\textbf{M}_{rotation}\textbf{M}_{scale}\textbf{P}_{old}$$

• 我们约定变换的顺序是先缩放，再旋转，最后平移。
• 当我们直接给出($\theta_x$，$\theta_y$， $\theta_z$)这样的旋转角度时，需要定义一个旋转顺序。在Unity中，这个旋转顺序是zxy，组合旋转变换矩阵是：

$$\textbf{M}_{rotate_Z}\textbf{M}_{rotate_X}\textbf{M}_{rotate_Y}= \begin{bmatrix} \cos\theta_z & -\sin\theta_z & 0 & 0 \\ \sin\theta_z & \cos\theta_z & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta_x & -\sin\theta_x & 0 \\ 0 & \sin\theta_x & \cos\theta_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\theta_y & 0 & \sin\theta_y & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta_y & 0 & \cos\theta_y & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$

一些读者会有疑问：上面的公式书写顺序是不是反了？不是说列矩阵要从右往左读吗？这样一来顺序不就颠倒了吗？实际上，有一个非常重要的东西我们没有说明白，那就是旋转时使用的坐标系。给定一个旋转顺序（例如这里的zxy)，以及它们对应的旋转角度(0,0,0)，有两种坐标系可以选择。

Unity 文档中说的是世界坐标系下的旋转；而使用矩阵变换时是在局部坐标系中旋转的

说得明白点，在第一种情况下按zxy顺序旋转和在第二种情况下按yxz顺序旋转是一样的。

坐标空间

• 坐标空间的变换

• 顶点的坐标空间变换过程：

  • 模型空间（model space）/对象空间（object space）/局部空间（local space）
  • —模型变换（model transform）
  • 世界空间（world space）
  • —观察变换（view transform）
  • 观察空间（view space）/摄像机空间（camera space）
  • —投影矩阵变换
  • 裁剪空间（clip space）
  • —齐次除法（hemogeneous division）/透视除法（perspective division）
  • 屏幕空间（screen space）

• 模型空间是在建模软件里确定好的

• 观察空间（view space）/摄像机空间（camera space）

  Unity中观察空间的坐标轴选择是：+x轴指向右方，+y轴指向上方，而+z轴指向的是摄像机的后方。Unity在模型空间和世界空间中选用的都是左手坐标系，而在观察空间中使用的是右手坐标系。这是符合OpenGL传统的，在这样的观察空间中，摄像机的正前方指向的是-z轴方向。

• 裁剪空间（clip space）
  裁剪矩阵（clip matrix）/投影矩阵（projection matrix），正交投影（orthographic projection），透视投影（perspective projection），视锥体（view frustum），裁剪平面（clip planes），近剪裁平面（near clip plane），远剪裁平面（far clip plane）

  投影矩阵有两个目的：

  • 首先是为投影做准备。这是个迷惑点，虽然投影矩阵的名称包含了投影二字，但是它并没有进行真正的投影工作，而是在为投影做准备。真正的投影发生在后面的齐次除法
    （homogeneous division）过程中。而经过投影矩阵的变换后，顶点的 w 分量将会具有特殊的意义。

  读者：投影到底是什么意思呢？
  我们：可以理解成是一个空间的降维，例如从四维空间投影到三维空间中。而投影矩阵实际上并不会真的进行这个步骤，它会为真正的投影做准备工作。真正的投影会在屏幕映射时发生，通过齐次除法来得到二维坐标。具体会在4.6.8节中讲到。

  • 其次是对x、y、z分量进行缩放。我们上面讲过直接使用视锥体的6个裁剪平面来进行裁剪会比较麻烦。而经过投影矩阵的缩放后，我们可以直接使用w分量作为一个范围值，如果x、y、z分量都位于这个范围内，就说明该顶点位于裁剪空间内。

  在裁剪空间之前，虽然我们使用了齐次坐标来表示点和矢量，但它们的第四个分量都是固定的：点的w分量是1，方向矢量的w分量是0。经过投影矩阵的变换后，我们就会赋予齐次坐标的第4个坐标更加丰富的含义。

• 屏幕空间
  归一化的设备坐标（Normalized Device Coordinates，NDC）按照OpenGL的传统，这个立方体的 x、y、z 分量的范围都是[-1,1]。但在 DirectX 这样的 API 中，z分量的范围会是[0,1]。而 Unity 选择了 OpenGL 的齐次裁剪空间。
  在Unity中，从裁剪空间到屏幕空间的转换是由底层完成。我们的顶点着色器只需要把顶点转换到裁剪空间。

法线变换

• 法线（normal）/法矢量（normal vector）
• 切线（tangent）/切矢量（tangent vector）——与纹理空间对齐，与法线方向垂直

  要使用原变换矩阵的 逆 转置矩阵 来变换法线。

  • 如果变换矩阵是正交矩阵，那么我们可以使用用于变换顶点的变换矩阵来直接变换法线。如果变换只包括旋转变换，那么这个变换矩阵就是正交矩阵。
  • 而如果变换只包含旋转和统一缩放，而不包含非统一缩放，我们利用统一缩放系数 k 来得到变换矩阵的逆转置矩阵$(\textbf{M}_{A\rightarrow B}^{T})^{-1}=\frac{1}{k}\textbf{M}_{A\rightarrow B}$。
  • 如果变换中包含了非统一变换，那么我们就必须要求解逆矩阵来得到变换法线的矩阵。

Unity Shader 的内置变量

以下是 Unity 2022.3 的内置变量

变换矩阵

Name	Value
UNITY_MATRIX_MVP	当前的模型-观察-投影矩阵，用于将顶点/方向矢量从模型空间变换到裁剪空间
UNITY_MATRIX_MV	当前的模型-观察矩阵，用于将顶点/方向矢量从模型空间变换到观察空间
UNITY_MATRIX_V	当前的观察矩阵，用于将顶点/方向矢量从世界空间变换到观察空间
UNITY_MATRIX_P	当前的投影矩阵，用于将顶点/方向矢量从观察空间变换到裁剪空间
UNITY_MATRIX_VP	当前的观察-投影矩阵，用于将顶点/方向矢量从世界空间变换到裁剪空间
UNITY_MATRIX_T_MV	UNITY_MATRIX_MV的转置矩阵
UNITY_MATRIX_IT_MV	UNITY_MATRIX_MV的逆转置矩阵，用于将法线从模型空间变换到观察空间，也可用于得到UNITY_MATRIX_MV的逆矩阵
unity_ObjectToWorld	当前的模型矩阵，用于将顶点/方向矢量从模型空间变换到世界空间
unity_WorldToObject	ObjectToWorld的逆矩阵，用于将顶点/方向矢量从世界空间变换到模型空间

摄像机与屏幕参数

Name		Type	Value
_WorldSpaceCameraPos		float3	摄像机在世界空间中的位置。
_ProjectionParams		float4	x 为 1.0（如果当前使用翻转的投影矩阵进行渲染，则为 -1.0）， y 为摄像机的近平面，z 为摄像机的远平面， w 为 1/远平面。
_ScreenParams		float4	x 是相机目标纹理的宽度（以像素为单位）。y 是相机目标纹理的高度（以像素为单位）， z 是 1.0 + 1.0/宽度， w 是 1.0 + 1.0/高度。
_ZBufferParams		float4	用于线性化 Z 缓冲区值。
	x		如果 UNITY_REVERSED_Z 设置为 1，则为 1-far/near ，或 -1+far/near
	y		far/near ，或者如果 UNITY_REVERSED_Z 设置为 1，则为 1 有关
	z		x/far
	w		y/far
unity_OrthoParams		float4	x 是正交相机的宽度， y 是正交相机的高度， z 未使用， w 在相机为正交相机时为 1.0，在透视相机时为 0.0。
unity_CameraProjection		float4x4	摄像机的投影矩阵。
unity_CameraInvProjection		float4x4	摄像机投影矩阵的逆矩阵。
unity_CameraWorldClipPlanes[6]		float4	摄像机视锥体平面世界空间方程，按此顺序：左、右、下、上、近、远。
除此之外还有 Time、Lighting……这项和引擎相关，需要时再查文档即可。

答疑解惑

• $3\times3$ ，还是$4\times4$？：在对顶点的变换中，我们通常使用 $4\times4$ 的变换矩阵。而在对方向矢量的变换中，我们通常使用 $3\times3$ 的矩阵就足够了。
• 获取屏幕坐标的方法：ComputeScreenPos/VPOS/WPOS